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网络综合法得到的低通原型滤波器
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《网络综合法得到的低通原型滤波器》
4．01绪论
本书以后的章节将要讨论许多滤波器的设计方法，这些方法利用了本章中论述的集总元件低通原型滤波器。我们讨论的大多数低通，高通，带通和带阻微波滤波器，它们的主要传输特性都来源于它们设计时使用的低通原型滤波器。这些低通原型滤波器的元件的值最初是用达林顿和其他人发明的网络综合法获得的。但是，近来建立了更简明的方程，能方便的使用计算机程序来计算本书中各种类型的重要的低通原型滤波器的元件数值，而且，大量滤波器的设计已经被制成表格。本书中的一些表格是从温伯格的工作中得到的，其他则是斯坦福研究所根据本书的要求计算出来的。本书中没有把包括对网络综合法正式的讨论，因为在其他地方已经广泛的讨论了这些方法，而且为设计提供的表格使这些讨论没有必要。本章的主要目标是弄清楚已制成表格的原型滤波器，时延网络和阻抗匹配网络的特性，以便使他们能被合理的应用，来解决第一章中多种微波电路设计的问题。
必须注意到，第六章中的阶梯型传输器也可以作为第九章中讨论的某些类型的微波滤波器的设计原型。
4．02滤波器设计的影像法和网络综合法的比较
正如第三章中所讨论的，滤波器某个截面上的影像阻抗和衰减函数根据一个无数相同的滤波器连接在一起来定义。用一个有限的无损耗带终端电阻的滤波器网络会允许影像阻抗只在分散的频率匹配，并且反射效应会导致通带的极大衰减，就像阻带边缘的失真一样。
在3。08节中，已经讨论了设计终端部分来降低这些反射效应的原理。但是这些方法在用影像法进行滤波器设计时只能有限的降低反射的大小，它们不能准确的给出通呆内反射损失的峰值。因此，虽然影像法概念简单，但是当要求准确的设计，包括较低的通带反射损失和准确的带边定义时，需要很多的分割尝试或知道怎样。
滤波器设计的网络综合法一般开始于指定一个传输函数（就像公式2。10－6传输系数t），作为综合频率p的一个函数。根据传输函数，电路的输入阻抗是p的一个函数。然后，由多种连续的部分或独立的部分的扩展过程，输入阻抗发展为给出电路的元件值。通过这些过程得到的电路的传输系数与开始指定的相同，所有的推测工作和分割尝试被消除。影像概念从没有这些过程，并且终端的影响已经被考虑在传输函数的最初指定中。
一般来说，用影像法设计的低通滤波器和网络综合法设计的相同功能的滤波器是非常相似的。但是，用网络综合法设计出来的滤波器在制定的响应时，元件值略有不同。
在接下来的部分中讨论的切比雪夫和最平坦转移函数经常被指定作为滤波器应用。对于元件数值在4.05节中的表格中列出的滤波器，将在4。03节中精确的推论它们产生的响应。而起，将包括从低通集总元件原型近似值出发设计微波滤波器。然而，这种近似一般来说在相当大的频率范围内都非常好，这种原型的使用取决于微波滤波器的参数，它消除了经典影像法内在的推测工作。
4．03最平坦和切比雪夫的衰减特性
图4。03－1显示了一个典型的最平坦低通滤波器的衰减特性。频率 处被定义为通带边缘，衰减为 。这个特性的数学表达为公式（4。03－1）其中公式（4。03－2）图4。03－1中的响应能用4。04和4。05节中所讨论的低通滤波器电路实现，公式（4。03－1）中的参数n相当于电路中要求的电抗元件的数目。这种衰减特性得到“最平坦”之名是由于在公式（4。03－1）中方括号内的量在 ＝0时有（2n－1）个零点。
在大多数情况下，最平坦低通滤波器的 北定义为3分贝带边点。图4。03－2显示了 ，n＝1～15的最平坦滤波器的阻带衰减特性图。注意，为了方便，图中数 作为横坐标。在 上加上绝对值符号，这是因为在后面讨论从低通变换为带通或带阻时，可能会遇上 的值为负的情况，这时的衰减与 的值为正时相同。
另一种用的衰减特性是从图4。03－3所示的切比雪夫或“等波纹”特性。在这种情况下， 还是通带内的最大分贝衰减， 是等波纹带边频率。图4。03－3所示的衰减特性可用数学表达为公式（4。03－3）和公式(4.03-4) 其中公式(4.03-5)。
这种特性也可以用4。04节和4。05节中所描述的滤波器结构实现，公式(4.03-3)和公式(4.03-4)中的参数n也是电路中电抗元件数目。如果n为偶数，则低通切比雪夫响应有n/2个频率处 ＝0，如果n为奇数，则有（n＋1）/2个频率。图4。03－4到图4。03－10 显示了 ＝0。01，0。10，0。20，0。50，1。00，2。00和3。00分贝通带波纹时切比雪夫的阻带衰减特性，横坐标还是 。
将图4。03－2中的最平坦衰减特性与图4。03－4到图4。03－10中的切比雪夫特性相比较是有趣味的。对于给定的通带衰减 和电抗元件数目n，切比雪夫滤波器的阻带衰减斜率陡很多。例如，图4。03－2中的最平坦衰减特性与图4。03－10中的切比雪夫衰减特性都是 ＝3分贝，若n＝15，则最平坦原型当 ＝1。7 时， 达到70分贝；对于切比雪夫原型，当 ＝1。18 时， 达到70分贝。与其它特性相比，切比雪夫响应经常作为首选，因为它的选择性好。但是，如果滤波器的电抗元件有较明显的损耗，任何一种通带响应的形状，会与无损耗时不同，并且这种影响对切比雪夫滤波器特别大。这些问题将在4。13节中讨论。与切比雪夫滤波器相比，最平坦滤波器被认为具有更小的延迟失真。但是，正如4。08节中所讨论的，这不一定正确，这取决于 的大小。
图4。03－1和图4。03－3中的最平坦和切比雪夫响应并不是这一类型中唯一可能的响应，例如，4。09节和4。10节中所讨论的阻抗匹配网络的切比雪夫响应的形状相似，但是在波纹的底部 不会为0。有时，设计切比雪夫滤波器使它不仅在通带有等波纹响应，而且在阻带内一个特定的衰减水平上有一个“等波纹”近似。虽然这些滤波器可以用在低频，但是很难精确的设计微波频率上的应用。在7。03节中将讨论这种微波滤波器的一种可能的例外。
4．04低通滤波器参数的定义
本章中讨论的低通原型滤波器的元件值 的定义如图4。04－1所示。（a）显示了原型滤波器的一种可能的形式，它的对偶形式在(b)中显示。它们两个给出了相同的响应，因此两个都可以使用。因为这个网络是可逆的，所以左边的电阻和右边的电阻都可以定义为信号源的内阻。应该注意到图4。04－1中有下列的约定：公式（4。04－1）
使用这些约定的原因是因为当使用一个给定的电路或它的对偶电路时，它们会导出相同形式的方程。除了电路元件值 外，还将使用一个附加的原型参数 。参数 是通带边缘的频率，它在这里所讨论的最平坦滤波器和切比雪夫滤波器类型中的定义见图4。03－1和图4。07节中讨论了它在最平坦时延滤波器中的定义。
本章中讨论的原型滤波器的元件数值都归一花，使 ＝1， ＝1。使用下列电路元件的变换公式，这些原型可以很容易的变换为其他的阻抗水平和频率标度。对于电阻和电导，公式（4。04－2）对于电感，公式（4。04－3）对于电容，公式（4。04－4）
在这些公式中，带撇的量是归一化原型的，不带撇的量是响应的变换电路的。正如在前面的讨论中所指出的，对本章的归一化原型来说， ＝ =1或 ＝ ＝1。
举一个例子来说明怎样实现这种变换，假设我们有一个低通原型，它的 ＝1。000欧姆， =0.8430法拉， =0.6220亨利， ＝1。3554姆欧。这些是0。1分贝波纹切比雪夫滤波器的元件值，它的等波纹带边频率 ＝1【见表4。05－2（a）中0。1分贝波纹和n＝2时的情况】。假定要求把这个原型变换为 =50欧姆，等波纹带边频率 ＝1000兆赫，那么（ ）=50,( )=1/( 。然后，根据公式（4。04－2）到（4。04-4）, = 50欧姆, 法拉， 亨利， 姆欧。
4．05双终端最平坦和切比雪夫原型滤波器
对于双端都是电阻的最平坦滤波器，响应如图4。03－1， ＝3分贝， ＝1， ＝1，其元件数值可用下面的公式来计算：
公式（4。05－1）
表4。05－1（a）中给出了这种滤波器的电抗元件数n＝1到10时的元件值，表4。05－1（b）中给出了这种滤波器的电抗元件数n＝11到15时的元件值。
对于两端都是电阻的切比雪夫滤波器，相应如图4。03－3，通带波纹 分贝， ＝1， ＝1，其元件数值可用下面的公式来计算：
公式（4。05－2）
然后计算：公式
表表4。05－2（a）中给出这种滤波器的电抗元件数n＝1到10时的元件值，表4。05－2（b）中给出了这种滤波器的电抗元件数n＝11到15时的元件值。
应该注意的是这节中讨论的所有滤波器原型当n为奇数时是对称的。如果n为偶数，他们具有2。11节和3。07节中所提到的反对称性。在这种情况下，通过一个正实常数 ，可以把网络的一半与网络的另一半对应起来， 可被定义为：公式（4。05－3）
这里的 和 是滤波器终端的电阻。如果 是滤波器梯形网络一个分支的阻抗，那么
公式（4。04－4）
其中 是滤波器另一端分支的阻。根据公式（4。05－4），可以看到滤波器一段的电感感抗与另一端的电容相关，
公式（4。04－5）
还有，
公式（4。05－6）
因此，如果滤波器是反对称的，就可以从其中一半元件值求得另一半元件值（就像对称的滤波器那样）。
在图4。04－1中的双终端最平坦和切比雪夫滤波器中，可以发现上面所讨论的对称和反对称特性，设计滤波器使它在通带内有一个或多个频率处 ＝0，如图4。03－1和图4。03－3中所示。在4。06节，4。09节，和4。10节中所讨论的最平坦和切比雪夫滤波器没有这种特性。在4。07 节中所讨论的最平坦时延滤波器，虽然在 ＝0处 ＝0，但是它不是对称或反对称的。
有些较少的情况下可能要求设计时n大于15。在这些情况下可以增大n＝14或n＝15的设计，重复滤波器的两个中间元件得到很好的近似设计。这样，假定希望设计n＝18，可以增大n＝14的设计得到n＝18的设计，把电路在元件 之后断开，将原件 和 重复两次，然后再和元件 以及其他元件相连。这样，用带撇的 表示n＝18滤波器的元件数值，用不带撇的 表示n＝14滤波器的元件数值，则n＝1有下列的元件数值：
当然，这是一种近似方法，但是它的根是：对于给定的切比雪夫波纹，如果n在10左右或更大，则当n改变时，涉及元件的值变化非常小。这一点可以很容易看出，只要比较表4。05－2（b）中左边各烂中不同n值对应的元件数值。
4．01绪论
本书以后的章节将要讨论许多滤波器的设计方法，这些方法利用了本章中论述的集总元件低通原型滤波器。我们讨论的大多数低通，高通，带通和带阻微波滤波器，它们的主要传输特性都来源于它们设计时使用的低通原型滤波器。这些低通原型滤波器的元件的值最初是用达林顿和其他人发明的网络综合法获得的。但是，近来建立了更简明的方程，能方便的使用计算机程序来计算本书中各种类型的重要的低通原型滤波器的元件数值，而且，大量滤波器的设计已经被制成表格。本书中的一些表格是从温伯格的工作中得到的，其他则是斯坦福研究所根据本书的要求计算出来的。本书中没有把包括对网络综合法正式的讨论，因为在其他地方已经广泛的讨论了这些方法，而且为设计提供的表格使这些讨论没有必要。本章的主要目标是弄清楚已制成表格的原型滤波器，时延网络和阻抗匹配网络的特性，以便使他们能被合理的应用，来解决第一章中多种微波电路设计的问题。
必须注意到，第六章中的阶梯型传输器也可以作为第九章中讨论的某些类型的微波滤波器的设计原型。
4．02滤波器设计的影像法和网络综合法的比较
正如第三章中所讨论的，滤波器某个截面上的影像阻抗和衰减函数根据一个无数相同的滤波器连接在一起来定义。用一个有限的无损耗带终端电阻的滤波器网络会允许影像阻抗只在分散的频率匹配，并且反射效应会导致通带的极大衰减，就像阻带边缘的失真一样。
在3。08节中，已经讨论了设计终端部分来降低这些反射效应的原理。但是这些方法在用影像法进行滤波器设计时只能有限的降低反射的大小，它们不能准确的给出通呆内反射损失的峰值。因此，虽然影像法概念简单，但是当要求准确的设计，包括较低的通带反射损失和准确的带边定义时，需要很多的分割尝试或知道怎样。
滤波器设计的网络综合法一般开始于指定一个传输函数（就像公式2。10－6传输系数t），作为综合频率p的一个函数。根据传输函数，电路的输入阻抗是p的一个函数。然后，由多种连续的部分或独立的部分的扩展过程，输入阻抗发展为给出电路的元件值。通过这些过程得到的电路的传输系数与开始指定的相同，所有的推测工作和分割尝试被消除。影像概念从没有这些过程，并且终端的影响已经被考虑在传输函数的最初指定中。
一般来说，用影像法设计的低通滤波器和网络综合法设计的相同功能的滤波器是非常相似的。但是，用网络综合法设计出来的滤波器在制定的响应时，元件值略有不同。
在接下来的部分中讨论的切比雪夫和最平坦转移函数经常被指定作为滤波器应用。对于元件数值在4.05节中的表格中列出的滤波器，将在4。03节中精确的推论它们产生的响应。而起，将包括从低通集总元件原型近似值出发设计微波滤波器。然而，这种近似一般来说在相当大的频率范围内都非常好，这种原型的使用取决于微波滤波器的参数，它消除了经典影像法内在的推测工作。
4．03最平坦和切比雪夫的衰减特性
图4。03－1显示了一个典型的最平坦低通滤波器的衰减特性。频率 处被定义为通带边缘，衰减为 。这个特性的数学表达为公式（4。03－1）其中公式（4。03－2）图4。03－1中的响应能用4。04和4。05节中所讨论的低通滤波器电路实现，公式（4。03－1）中的参数n相当于电路中要求的电抗元件的数目。这种衰减特性得到“最平坦”之名是由于在公式（4。03－1）中方括号内的量在 ＝0时有（2n－1）个零点。
在大多数情况下，最平坦低通滤波器的 北定义为3分贝带边点。图4。03－2显示了 ，n＝1～15的最平坦滤波器的阻带衰减特性图。注意，为了方便，图中数 作为横坐标。在 上加上绝对值符号，这是因为在后面讨论从低通变换为带通或带阻时，可能会遇上 的值为负的情况，这时的衰减与 的值为正时相同。
另一种用的衰减特性是从图4。03－3所示的切比雪夫或“等波纹”特性。在这种情况下， 还是通带内的最大分贝衰减， 是等波纹带边频率。图4。03－3所示的衰减特性可用数学表达为公式（4。03－3）和公式(4.03-4) 其中公式(4.03-5)。
这种特性也可以用4。04节和4。05节中所描述的滤波器结构实现，公式(4.03-3)和公式(4.03-4)中的参数n也是电路中电抗元件数目。如果n为偶数，则低通切比雪夫响应有n/2个频率处 ＝0，如果n为奇数，则有（n＋1）/2个频率。图4。03－4到图4。03－10 显示了 ＝0。01，0。10，0。20，0。50，1。00，2。00和3。00分贝通带波纹时切比雪夫的阻带衰减特性，横坐标还是 。
将图4。03－2中的最平坦衰减特性与图4。03－4到图4。03－10中的切比雪夫特性相比较是有趣味的。对于给定的通带衰减 和电抗元件数目n，切比雪夫滤波器的阻带衰减斜率陡很多。例如，图4。03－2中的最平坦衰减特性与图4。03－10中的切比雪夫衰减特性都是 ＝3分贝，若n＝15，则最平坦原型当 ＝1。7 时， 达到70分贝；对于切比雪夫原型，当 ＝1。18 时， 达到70分贝。与其它特性相比，切比雪夫响应经常作为首选，因为它的选择性好。但是，如果滤波器的电抗元件有较明显的损耗，任何一种通带响应的形状，会与无损耗时不同，并且这种影响对切比雪夫滤波器特别大。这些问题将在4。13节中讨论。与切比雪夫滤波器相比，最平坦滤波器被认为具有更小的延迟失真。但是，正如4。08节中所讨论的，这不一定正确，这取决于 的大小。
图4。03－1和图4。03－3中的最平坦和切比雪夫响应并不是这一类型中唯一可能的响应，例如，4。09节和4。10节中所讨论的阻抗匹配网络的切比雪夫响应的形状相似，但是在波纹的底部 不会为0。有时，设计切比雪夫滤波器使它不仅在通带有等波纹响应，而且在阻带内一个特定的衰减水平上有一个“等波纹”近似。虽然这些滤波器可以用在低频，但是很难精确的设计微波频率上的应用。在7。03节中将讨论这种微波滤波器的一种可能的例外。
4．04低通滤波器参数的定义
本章中讨论的低通原型滤波器的元件值 的定义如图4。04－1所示。（a）显示了原型滤波器的一种可能的形式，它的对偶形式在(b)中显示。它们两个给出了相同的响应，因此两个都可以使用。因为这个网络是可逆的，所以左边的电阻和右边的电阻都可以定义为信号源的内阻。应该注意到图4。04－1中有下列的约定：公式（4。04－1）
使用这些约定的原因是因为当使用一个给定的电路或它的对偶电路时，它们会导出相同形式的方程。除了电路元件值 外，还将使用一个附加的原型参数 。参数 是通带边缘的频率，它在这里所讨论的最平坦滤波器和切比雪夫滤波器类型中的定义见图4。03－1和图4。07节中讨论了它在最平坦时延滤波器中的定义。
本章中讨论的原型滤波器的元件数值都归一花，使 ＝1， ＝1。使用下列电路元件的变换公式，这些原型可以很容易的变换为其他的阻抗水平和频率标度。对于电阻和电导，公式（4。04－2）对于电感，公式（4。04－3）对于电容，公式（4。04－4）
在这些公式中，带撇的量是归一化原型的，不带撇的量是响应的变换电路的。正如在前面的讨论中所指出的，对本章的归一化原型来说， ＝ =1或 ＝ ＝1。
举一个例子来说明怎样实现这种变换，假设我们有一个低通原型，它的 ＝1。000欧姆， =0.8430法拉， =0.6220亨利， ＝1。3554姆欧。这些是0。1分贝波纹切比雪夫滤波器的元件值，它的等波纹带边频率 ＝1【见表4。05－2（a）中0。1分贝波纹和n＝2时的情况】。假定要求把这个原型变换为 =50欧姆，等波纹带边频率 ＝1000兆赫，那么（ ）=50,( )=1/( 。然后，根据公式（4。04－2）到（4。04-4）, = 50欧姆, 法拉， 亨利， 姆欧。
4．05双终端最平坦和切比雪夫原型滤波器
对于双端都是电阻的最平坦滤波器，响应如图4。03－1， ＝3分贝， ＝1， ＝1，其元件数值可用下面的公式来计算：
公式（4。05－1）
表4。05－1（a）中给出了这种滤波器的电抗元件数n＝1到10时的元件值，表4。05－1（b）中给出了这种滤波器的电抗元件数n＝11到15时的元件值。
对于两端都是电阻的切比雪夫滤波器，相应如图4。03－3，通带波纹 分贝， ＝1， ＝1，其元件数值可用下面的公式来计算：
公式（4。05－2）
然后计算：公式
表表4。05－2（a）中给出这种滤波器的电抗元件数n＝1到10时的元件值，表4。05－2（b）中给出了这种滤波器的电抗元件数n＝11到15时的元件值。
应该注意的是这节中讨论的所有滤波器原型当n为奇数时是对称的。如果n为偶数，他们具有2。11节和3。07节中所提到的反对称性。在这种情况下，通过一个正实常数 ，可以把网络的一半与网络的另一半对应起来， 可被定义为：公式（4。05－3）
这里的 和 是滤波器终端的电阻。如果 是滤波器梯形网络一个分支的阻抗，那么
公式（4。04－4）
其中 是滤波器另一端分支的阻。根据公式（4。05－4），可以看到滤波器一段的电感感抗与另一端的电容相关，
公式（4。04－5）
还有，
公式（4。05－6）
因此，如果滤波器是反对称的，就可以从其中一半元件值求得另一半元件值（就像对称的滤波器那样）。
在图4。04－1中的双终端最平坦和切比雪夫滤波器中，可以发现上面所讨论的对称和反对称特性，设计滤波器使它在通带内有一个或多个频率处 ＝0，如图4。03－1和图4。03－3中所示。在4。06节，4。09节，和4。10节中所讨论的最平坦和切比雪夫滤波器没有这种特性。在4。07 节中所讨论的最平坦时延滤波器，虽然在 ＝0处 ＝0，但是它不是对称或反对称的。
有些较少的情况下可能要求设计时n大于15。在这些情况下可以增大n＝14或n＝15的设计，重复滤波器的两个中间元件得到很好的近似设计。这样，假定希望设计n＝18，可以增大n＝14的设计得到n＝18的设计，把电路在元件 之后断开，将原件 和 重复两次，然后再和元件 以及其他元件相连。这样，用带撇的 表示n＝18滤波器的元件数值，用不带撇的 表示n＝14滤波器的元件数值，则n＝1有下列的元件数值：
当然，这是一种近似方法，但是它的根是：对于给定的切比雪夫波纹，如果n在10左右或更大，则当n改变时，涉及元件的值变化非常小。这一点可以很容易看出，只要比较表4。05－2（b）中左边各烂中不同n值对应的元件数值。
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